Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация.

ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Геометрический смысл производной

Воспользуемся определением производной функции и ее связью с дифференциалом :

.

Изобразим на Рис. 1 рассматриваемые величины. Как видно из рисунка, производная функции в точке равна тангенсу угла меж вектором касательной к графику функции в точке и направлением оси абсцисс: .

y=f (x)


τ

f (x+∆ x ) d y = f ´(x) d Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. x

Рис. 1

∆ f (x) = f (x+Δ x) –f (x)

φ

f (х)

x x+Δx x

∆ x = d x

Изобразим на Рис 2. тригонометрический круг единичного радиуса с осью тангенсов.

Для того, чтоб отыскать производную tg φ Рис. 2

функции в данной точке графика,

нужно выстроить в этой точке τ

касательный вектор τ, потом по Рис. 2 y

найти

Значение Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. тангенса угла

меж вектором τ и

направлением оси -1 x

Абсцисс. Значение

Производной будет

Равно отысканному

значению тангенса. -1

Найдем значения производной для функции, изображенной на графике Рис. 3. Отысканные значения производной будем откладывать на осиy'

На участке AB производная y Рис. 3 F

отрицательная, равна –1, A E

не изменяется.

На участке BC производная G x

равна нулю.

На участке CD производная B Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. C D

воспринимает снова значение –1. На участке DE производная y'

положительная, меньше 1. 1

На участке FG производная

такая же, как на участке AB. x

-1

Графическое дифференцирование

Разглядим более непростой пример графика функции, когда на отдельных участках функция совпадает с квадратным трехчленом. Эти участки будем условно обозначать ~ . График производной на таких участках, разумеется, представляет Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. собой прямую линию: .

Пр.1 y

Рис. 4

~

~

A B C D E F G

х


y'


х


-1

Опишем поведение производной на всех участках графика функции исходя из поведения тангенса угла , потом обозначенное поведение производной изобразим на графике:

AB: Производная отрицательна, неизменная, меньше единицы.

BC: Производная в высочайшей точке параболы обращается в ноль, в Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. точке В производная положительная, приблизительно равна 2. Ввиду того, что графиком производной должна быть ровная, проводим через обозначенные две точки отрезок прямой.

CD: Производная отрицательна, не изменяется, значение производной по модулю меньше единицы.

DE: Производная в точке D равна нулю, потом увеличивается и добивается в точке Е некого положительного значения большего единицы Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация.. С учетом, что участок соответствует квадратичной параболе, имеем в качестве графика производной отрезок прямой.

EF: Производная в точке Е равна нулю, потом миниатюризируется и добивается в точке F значения, приблизительно равного -2.

FG: Производная положительна, не изменяется, больше единицы.

Пр. 2 Сейчас разглядим случай, когда отдельные участки графика функции являются случайными кривыми Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация., не являющимися квадратичными параболами.

Y Рис. 5


~


A B C D E F G Q R x

~


y'


x


Для построения графика производной Пр. 2поначалу опишем поведение

тангенса угла наклона касательной, на уровне мыслей представляя единичный круг и ось тангенсов на нем:

A:На производная стремится к нулю. Таким макаром начиная с Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. нуля на производная миниатюризируется и, приближаясь к точке перегиба A, cтремится к . Точка А является недифференцируемой точкой перегиба,отделяющей выпуклую и вогнутую части кривой. В самой же точке А.производная не существует (стремится к - ).

AB:Справа в точке А производная как и раньше равна - и, при движении к точке В Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. стремится к нулю.

BC:Справа в точке В производная стремится к (вертикальная асимптота ). При движении к точке С производная миниатюризируется до нуля..

CD:Производная отрицательная неизменная, равна приблизительно –1.

DE:Из нуля в точке D производная возрастает и воспринимает довольно огромное значение в точке Е.

EF: Справа в точке Е Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. производная равна + , потом миниатюризируется и, оставаясь отрицательной, воспринимает малые отрицательные значения в точке F.

FG:Производная отрицательна, увеличивается до нуля. С учетом параболичности участка, график производной – ровная линия.

GQ:Производная положительна, не изменяется, воспринимает значение, наименьшее1.

QR:Производная отрицательна. Воспринимает огромное отрицательное значение в точка Q, потом возрастает Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация., стремится к нулю, но нуля в точке R не добивается .

Пр.3Посвящен дифференцированию функции в округи точек перегиба, как дифференцируемых, так и недифференцируемых (определения дифференцируемых и недифференцируемых точек см. в § 3)

Дифференцируемыми точками перегиба будем именовать такие точки на графике, которые отделяют выпуклую часть кривой от вогнутой, при этом в самой точке Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. перегиба производная функции существует и не обращается в бесконечность.

Недифференцируемыми точками перегибабудем именовать такие точки на графике функции, которые отделяют выпуклую часть кривой от вогнутой, при этом в самой точке перегиба производная либо не существует, либо обращается в бесконечность.

Пр. 4 y Рис.6


A B C D P Q Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. R S T N M L E F G x

y'


x


Слева от оси ординат в точках графика при х = С и х = Q имеются дифференцируемые точки перегиба. Справа от оси в точках графика при х =T, N, M, F – недифференцируемые точки пергиба.

Опишем поведение производной функции в Пр. 4 на каждом участке Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация.:

AD: В точке А производная положительна, миниатюризируется до нуля при х=В, дальше продолжает уменьшаться, становясь отрицательной, потом в точке перегиба при х = С начинает возрастать и добивается нуля в точке D.

PR:В точке Р производная положительна, потом миниатюризируется до нуля при х = Q, потом начинает возрастать и Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. воспринимает наибольшее положительное значение в точке при х = R.

SN: При х = S производная равна нулю, потом миниатюризируется, становясь отрицательной, и при х = Т обращается в . Справа от точки Т производная из возрастает до нуля при х = N.

NL:При х = N производная обращается в потом миниатюризируется до нуля при Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. x = M. Справа в точке х = М производная обращается в минус бесконечность,Потом возрастает практически до нуля, оставаясь отрицательной в точке при х = L.

LF:При х = L производная отрицательна, увеличивается до нуля при х = Е, потом продолжает возрастать до точки F.

FG:При х = F производная Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. равна нулю, потом миниатюризируется.

В последующем примере разберем поведение графика производной, если функция имеет наклонные и горизонтальные асимптоты.

y y

Пр. 5


A F

x x


B С D E

y'

y'

Рис. 7

x x


- С:На производная отрицательна и стремится к нулю. На участке AC производная, оставаясь отрицательной, продолжает уменьшаться до точки пергиба В, потом Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. начинает возрастать и добивается нуля в точке С.

C :Из нуля в точке С производная растет до точки перегиба D, потом миниатюризируется, оставаясь положительной стремиться на к положительному значению.

EF :На минус бесконечности производная стремится к неизменному отрицательному значению. Возрастая от этого значения, оставаясь отрицательной, производная в точке Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. становится равной нулю, потом продолжает возрастать до точки перегиба F, потом, оставаясь положительной стремится на к неизменному положительному значению.

Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация.

Определение 1. Дифференцируемой точкойфункции назовем такую точку на графике функции, в какой существует конечная производная функции ( существует касательная, не направленная вертикально Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация.).

Определение 2. Недифференцируемой точкойфункции назовем такую точку на графике функции, в какой либо не существует производная функции (не существует

касательная, касательная справа и касательная слева не совпадают), либо производная обращается в бесконечность (касательная вертикальная).

В согласовании с введенными определениями можно ввести понятие локального дифференцируемого и недифференцирруемого экстремумов,графическое изображение которых дано на Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. Рис. 1

y Рис. 1

E R

C

A


D F х

B G

Точки на графике A, B – точки дифференцируемого экстремума (максимума и минимума, соответственно). Точки С, D, E, F, G, R – точки недифференцируемого экстремума ( C, E, R – точки максимума; D, F, G – точки минимума).

Проиллюстрируем при помощи графического дифференцирования справедливость нужного и достаточных признаков существования локального Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация. экстремума функции.

y y


x x


pro-boris-belenkij-mne-nravitsya-kogda-teatri-rabotayut-s-detmi-talantlivo-28.html
pro-fedota-strelca.html
pro-glupcov-vladimir-visockij.html