Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Лекция 30-31. Числовой ряд, сходимость, сумма ряда (4ч)

Содержание лекции: Числовой ряд, сходимость, сумма ряда, остаток ряда. Нужное условие сходимости числовых рядов. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов (сопоставления, Даламбера). Абсолютная, условная сходимость знакочередующихся рядов, характеристики. Аксиома Лейбница. Примеры.

Характеристики числовых рядов. Конкретный и интегральный признаки Коши сходимости числовых рядов.

Главные понятия и Признаки сходимости знакопостоянных рядов. определения. Характеристики рядов.

Понятие ряда появляется уже в простой арифметике в связи с задачей представления одних чисел средством других, к примеру, десятичных дробей либо иррациональных чисел через простые дроби:

,

,

,

.

К записям подобного рода приводит и задачка представления одних функций другими, более ординарными (к примеру, многочленами).

Разглядим числовую последовательность а1, а Признаки сходимости знакопостоянных рядов.2, а3, ..., ап, .... = { аn}.

Определение 30.1.Сумма вида а1 + а2 + а3 + ...+ ап+ .... = , где ап – члены числовой последовательности, именуется числовым рядом. При всем этом числа а1, а2, а3, ..., ап, .... именуются членами ряда, ап – общим либо п-ным членом ряда.

К примеру, – гармонический ряд,

2 + 4 + 8 +16 + ... + 2п... = ,

либо – ряды членов геометрической прогрессии.

Знак употребляется Признаки сходимости знакопостоянных рядов. для сокращенной записи ряда. При всем этом нумерация членов (счетчик) может начинаться с хоть какого целого числа, к примеру

,

а индекс членов ряда (параметр счетчика) может обозначаться хоть какой (в большинстве случаев латинской) буковкой: , ,

Разглядим ряд и составим суммы

S1 = a1,

S2 = a1 + a2 ,

S3 = a1 + a2 + a3 , ... ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sn = a1 + a2 + a Признаки сходимости знакопостоянных рядов.3 + ... + an

– эти суммы именуются соответственно 1-й, 2-й, 3-й,...,п-й частичными суммами.

Определение 30. 2.Если существует конечный предел последовательности {Sn} частичных сумм ряда , то этот ряд именуетсясходящимся, а число именуется суммойряда. Если {Sn} не имеет предела (а именно, если этот предел нескончаемый), то ряд именуется расходящимся.

Разглядим примеры:

1) 1 + 0,1 +0,01 + 0,001 + 0,0001 +...= ,

для этого ряда

S1 = 1, S2 = 1,1 , S3 = 1,11 , S4 = 1,111 , ... , Sn Признаки сходимости знакопостоянных рядов. = ,

означает, = 1,1(1), т.е. ряд сходится и сумма его равна .

2) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + п + ... = ,

для этого ряда S1 = 1, S2 = 3 , S3 = 6 , S4 = 10 , ... , Sn = ( сумма п членов арифметической прогрессии). Но , означает, ряд расползается.

3) Разглядим ряд 1+ q + q2 + q3 +... + qn +... = – ряд членов геометрической прогрессии. Его п-я частичная сумма равна Sn = . Тогда

, (1)

означает, ряд членов геометрической Признаки сходимости знакопостоянных рядов. прогрессии сходится, если модуль знаменателя меньше 1, и расползается, если – неменьше 1.

Заметим, что рассмотренный выше ряд есть ряд членов геометрической прогрессии со знаменателем , другими словами выведенная закономерность подтверждает ранее установленную сходимость этого ряда.

4) Разглядим гармонический ряд и его частичную сумму

.

Используя неравенство х > ln(1 + x) для хоть какого х ³ 1 (проверьте графически Признаки сходимости знакопостоянных рядов.!), имеем

.

Тогда , означает, гармонический ряд расползается!

Определение 30.3. Ряд вида an+1 + an+2 + aп+3 +... = именуется остатком ряда и обозначается Rn.

Таким макаром, . Заметим, что если ряд сходится, то Rn = S – Sn, где S –сумма ряда, = S, а Sn – п-я частичная сумма этого ряда. При этом, для сходящегося ряда .

Разглядим характеристики числовых Признаки сходимости знакопостоянных рядов. рядов (обосновать характеристики без помощи других).

Свойство 1. Если сходится ряд , то сходится хоть какой его остаток и напротив, если сходится остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Следствие 1. Если ряд расползается , то расползается хоть какой его остаток, и напротив, если расползается остаток, то расползается и ряд.

Следствие 2. Изменение (к Признаки сходимости знакопостоянных рядов. примеру, добавление либо отбрасывание) конечного числа членов ряда не меняет его сходимости (расходимости)

К примеру, ряды и сходятся, потому что 1-ый из их есть R37 для ряда , вправду: (k = п+1 = 37+1). 2-ой же из обозначенных рядов выходит также из ряда подменой суммы первых 2-ух членов суммой . При всем этом Признаки сходимости знакопостоянных рядов., естественно, сумма каждого из данных рядов будет отличаться от суммы ряда , которая, кстати, равна (см. Формулу (1)).

Аналогично, ряд расползается, потому что выходит из расходящегося гармонического ряда отбрасыванием первых 5 членов.

Свойство 2. Если ряд сходится, то для хоть какого числа l ряд также сходится, при этом, . Если ряд расползается, то для хоть какого числа Признаки сходимости знакопостоянных рядов. l ¹ 0 ряд также расползается.

Следствие. Общий множитель членов ряда можно выносить за символ суммы, при всем этом сходимость ряда не поменяется.

К примеру, ряды и расползаются, как и гармонический ряд. Ряд сходится и сумма его равна .

Свойство 3. Если ряды и сходятся, то для всех чисел a Признаки сходимости знакопостоянных рядов. и b ряд , при этом сумма этого ряда равна a + b .

К примеру,

Замечание: Если "n ап>0 и bn>0 и ряды , расползаются, то для положительных a и b расползается и ряд . Если же члены рядов и имеют разные знаки, то какими бы ни были a и b, без дополнительных исследовательских Признаки сходимости знакопостоянных рядов. работ о сходимости либо расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Отметим очередное принципиальное свойство сходящегося ряда.

Аксиома 30.2. (нужное условие сходимости ряда)

Если ряд сходится, то .

Подтверждение. Если сходится, то существует .

Но ап = Sn – Sn-1 , тогда .ЧТД.

Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Главные вопросы, которые появляются при работе с числовым Признаки сходимости знакопостоянных рядов. рядом:

1. Сходится ли он?

2. Если сходится, то какова его сумма?

1-ый из этих вопросов можно узнать не только лишь по определению, да и при помощи, так именуемых, признаков сходимости ряда.

Поначалу разглядим признаки сходимости рядов, все члены которых имеют один и тот же символ, т.е. ап >0 " n либо ап < 0 " n. Такие ряды Признаки сходимости знакопостоянных рядов. именуются знакопостоянными: при ап >0 " n ряд знакоположительный, при ап < 0 " n ряд знакоотрицательный. Разумеется, довольно выстроить теорию исследования знакоположительных рядов, потому что ряд с отрицательными членами приводится к ряду с положительными вынесением за символ суммы общего минуса, что не оказывает влияние на сходимость ряда (согласно свойству 2). Заметим также, что Признаки сходимости знакопостоянных рядов. знакоположительный ряд всегда имеет сумму: эта сумма или конечная (ряд сходится), или нескончаемая (расползается)

Следствие аксиомы 30.2. (достаточный признак расходимости)

Если , то ряд расползается. (без подтверждения)

Пример: ряд расползается, потому что ,

ряд расползается, потому что ,

ряд расползается, т.к. не существует.

Аксиома 30.3. (I признак сопоставления)

Если для рядов и производится условие an &sup Признаки сходимости знакопостоянных рядов.3; bn ³ 0 " п>no , то

а) если сходится ряд , то сходится и ;

б) если расползается ряд , то расползается и ряд .

Пример: 1) Исследуем сходимость ряда , р£1. Разглядим вместе с этим рядом гармонический ряд , который, как понятно, расползается. Несложно показать, что . Вправду, имеем при р £ 1

Последнее неравенство правильно "п ³ 1, потому Признаки сходимости знакопостоянных рядов. что 1–р ³ 0 по условию. Означает, правильно и начальное неравенство. Тогда все члены гармонического ряда меньше соответственных членов данного ряда, означает, по аксиоме 5.3 данный ряд расползается.

2) Исследуем ряд . Сравним члены этого ряда с членами ряда , который, разумеется, сходится:

, потому что " п cos2n £ 1.

Тогда по первому признаку сопоставления, данный Признаки сходимости знакопостоянных рядов. ряд также сходится.

Замечание. Если для рядов и производится условие an ³ bn ³ 0, то молвят, что ряд мажорирует ряд .

Аксиома 30.4.(II признак сопоставления)

Если для знакоположительных рядов и существует , 0

К примеру, исследуем сходимость ряда . Сравним Признаки сходимости знакопостоянных рядов. его с рядом , который, разумеется, расползается. Вычислим

,

означает, по II признаку сопоставления, данный ряд также расползается.

Аксиома 30.5. (признак Даламбера)

Если для знакоположительного ряда существует , то

при d < 1 ряд сходится,

при d > 1 ряд расползается,

при d =1 необходимы дополнительные исследования.

Пример: Исследуем ряд .

Имеем , . Потому что 0<1, то ряд сходится.

Аксиома 30.6. (конкретный признак Коши)

Если Признаки сходимости знакопостоянных рядов. для знакоположительного ряда существует , то

при K < 1 ряд сходится,

при K > 1 ряд расползается,

при K = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым – требуются дополнительные исследования.

Пример. Разглядим ряд .

Имеем : , , означает, ряд расползается.

Аксиома 30.7. (интегральный признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует однообразная функция f(x) такая, что "п ³ 1 f(n) = ап Признаки сходимости знакопостоянных рядов., то

если интеграл сходится, то сходится и ряд,

а если интеграл расползается, то расползается и ряд.

Пример. Разглядим ряд , р >1. Для функции f(x) = , х ³ 1 производится условие аксиомы 1.7: . Исследуем сходимость интеграла

(т.к. р> 1, 1–р<0). Означает, ряд сходится.

Замечание. Ряд именуется обобщенным гармоническим рядом(либо рядом Дирихле). Беря во внимание приобретенный Признаки сходимости знакопостоянных рядов. ранее итог и проведенное на данный момент исследование, можно прийти к выводу:

обобщенный гармонический ряд сходится при р>1 и расползается при р £ 1.

Таким макаром, вопрос о сходимости числового ряда можно узнать при помощи достаточных признаков сходимости. Если же ряд сходится, приближенно значение его суммы можно отыскать, вычислив сумму нескольких первых членов Признаки сходимости знакопостоянных рядов. этого ряда, т.е. обнаружив частичную сумму ряда. При всем этом точность таких вычислений определяется величиной остатка ряда:

S = Sn + Rn, Rn = S – Sn, | Rn | = |S – Sn| < e, è S = Sn ± e.


priznannie-mastera-fantasticheskogo-rasskaza-i-molodie-talanti-sobralis-pod-odnoj-oblozhkoj-chtobi-podelitsya-s-chitatelyami-futuristicheskimi-prognozami-o-predelah-politkorrektnoe-stranica-3.html
priznat-svoyu-nechestnost.html
prizom-pervogo-urovnya-nagrazhdayutsya-desyat-pobeditelej-konkursa-pri-uslovii-polucheniya-maksimalnogo-kolichestva-otmetok-mne-nravitsya.html